Tính toán công như là "lực nhân đoạn thẳng đi được" chỉ có thể trực hiện trong những trường hợp đơn giản mô tả ở trên. Nếu lực biến thiên, nếu vật chuyển động theo một đường cong, có thể là quay, thì chỉ có phần quỹ đạo của điểm tác dụng lực mới tạo nên công, và chỉ có thành phần của lực song song với phương vận tốc của điểm đó của lực mới gây nên công (công dương khi cùng hướng với vận tốc, âm khi ngược hướng). Thành phần này của lực có thể mô tả như một đại lượng vô hướng gọi là thành phần lực tiếp tuyến ( F cos ⁡ θ {\displaystyle F\cos \theta } , với θ {\displaystyle \theta } là góc giữa vectơ lực và vận tốc). Và sau đây là định nghĩa chung của công:

Công của lực là tích phân đường của thành phần lực tiếp tuyến theo quỹ đạo của điểm tác dụng lực.

Lực và độ dời

Nếu một lực F → {\displaystyle {\vec {F}}} không đổi theo thời gian tác dụng lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến một vectơ độ dời d → {\displaystyle {\vec {d}}} , thì công thực hiện của lực lên vật là tích vô hướng của các vectơ F → {\displaystyle {\vec {F}}} và d → {\displaystyle {\vec {d}}} :

A = F → ⋅ d → = F d cos ⁡ θ {\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}=Fd\cos \theta } (1)

với θ {\displaystyle \theta } là góc giữa vectơ lực và vectơ độ dời.

Trọng lực F=mg gây công A=mgh theo bất kỳ quỹ đạo rơi nào

Khi mà độ lớn và hướng của lực không đổi, quỹ đạo của vật có thể theo bất kỳ hình dạng nào: công thực hiện là độc lập với quỹ đạo và được xác định bởi chỉ một vectơ độ dời tổng cộng d → {\displaystyle {\vec {d}}} . Một ví dụ dễ thấy là công thực hiện bởi trọng lực - xem hình. Vật rơi xuống theo một đường cong, nhưng công được tính từ d cos ⁡ θ = h {\displaystyle d\cos \theta =h} , nó cho một kết quả quen thuộc A = m g h {\displaystyle A=mgh} .

Nếu lực gây ra (hay ảnh hưởng) đến sự quay của vật, hay vật không rắn, thì độ dời của điểm mà lực tác dụng được dùng để tính công. Trong trường hợp lực thay đổi theo thời gian, phương trình (1) không thể áp dụng được nữa. Nhưng khả dụng nếu chia chuyển động thành nhiều bước nhỏ, đến mức lực có thể coi xấp xỉ là hằng số trong mỗi bước, và công tổng cộng sẽ là tổng công các bước. Điều này sẽ trả lại một kết quả xấp xỉ, mà nó có thể được cải thiện khi chia nhỏ các bước hơn nữa (vi phân). Và kết quả chính xác thu được là giới hạn toán học của quá trình này, dẫn đến định nghĩa dưới đây.

Định nghĩa chung cho công cơ học được cho bởi tích phân đường sau đây:

A C = ∫ C F → ⋅ d x → = ∫ C F → ⋅ v → d t {\displaystyle A_{C}=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}=\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt} (2)

với:

C {\displaystyle C} là quỹ đạo của điểm đặt lực; F → {\displaystyle {\vec {F}}} là vectơ lực; x → {\displaystyle {\vec {x}}} là vectơ vị trí; và v → = d x → / d t {\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {x}}/dt} là vận tốc của nó.

Phương trình (2) giải thích làm sao một lực khác không có thể thực hiện công bằng không. Trường hợp đơn giản nhất là lực luôn vuông góc với phương chuyển động, tạo nên một tích phân luôn bằng không. Nó xảy ra khi vật chuyển động tròn. Tuy nhiên, kể cả khi nếu tích phân thỉnh thoảng có một giá trị khác không, nó vẫn có thể tích phân ra không nếu thỉnh thoảng nó dương và thỉnh thoảng nó âm.

Sự hiện diện của lực khác không tạo công bằng không minh họa sự khác nhau giữa công và đại lượng liên quan, xung lượng, nó là tích phân của lực theo thời gian. Xung lượng đo sự thay đổi động lượng của vật, một đại lượng vectơ có hướng, trong khi công chỉ phụ thuộc độ lớn của vận tốc. Ví dụ như là một vật chuyển động tròn đều chuyển động được một nửa vòng, thì lực hướng tâm của nó không gây công, nhưng nó tạo một xung lượng khác không.

Mô men và sự quay

Một lực có độ lớn không đổi và vuông góc với cánh tay đòn

Công thực hiện bởi một mô men lực có thể được tính theo cách tương tự, như là một lực có độ lớn không đổi tác động vuông góc lên một cánh tay đòn. Tích phân tại phương trình (2) cho chiều dài quỹ đạo của điểm đặt lực là cung tròn d s → {\displaystyle d{\vec {s}}} .Tuy nhiên, cung tròn có thể được tính từ góc quay φ → {\displaystyle {\vec {\varphi }}} (đo bằng radian) như là d s → = d φ → × r → {\displaystyle d{\vec {s}}=d{\vec {\varphi }}\times {\vec {r}}} , và tích r → × F → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}} bằng với mô men M → {\displaystyle {\vec {M}}} . Như vậy, công còn được tính như sau:

A = ∫ F → ⋅ d s → = ∫ F → ⋅ ( d φ → × r → ) = ∫ ( r → × F → ) ⋅ d φ → {\displaystyle A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=\int {\vec {F}}\cdot \left(d{\vec {\varphi }}\times {\vec {r}}\right)=\int \left({\vec {r}}\times {\vec {F}}\right)\cdot d{\vec {\varphi }}} = ∫ M → ⋅ d φ → = ∫ M → ⋅ ω → d t {\displaystyle =\int {\vec {M}}\cdot d{\vec {\varphi }}=\int {\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}dt}

với

M → {\displaystyle {\vec {M}}} là vectơ mô men tác động vào vật; φ → {\displaystyle {\vec {\varphi }}} là vectơ góc quay của vật quay; và ω → = d φ → d t {\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}} là vectơ vận tốc góc của vật quay.